Hay formas que se pueden describir con ecuaciones y formas que no. La conjetura afirma que en cierta clase de espacios, todas las que lo parecen, lo son.
Toma una variedad algebraica proyectiva compleja no singular X — el conjunto de ceros de un sistema de polinomios, sin puntos malos. Su cohomología se descompone en piezas indexadas por dos números:
Hn(X, ℂ) = ⊕p+q=n Hp,q(X)
Una clase de Hodge es una clase de cohomología racional que vive enteramente en la diagonal Hp,p. Toda subvariedad algebraica de X define una clase de ese tipo. La conjetura dice que no hay ninguna más: toda clase de Hodge es una combinación racional de clases de subvariedades algebraicas.
Dicho sin aparato: si una forma se comporta como si viniera de una ecuación, es que viene de una ecuación. El enunciado oficial del Clay lo escribió Pierre Deligne.
W. V. D. Hodge publicó en 1941 The Theory and Applications of Harmonic Integrals, donde demostró que en una variedad compacta cada clase de cohomología tiene un representante armónico único, y que en el caso complejo eso induce la descomposición en piezas (p,q).
La versión analítica de esa idea es la que corre en la figura de esta página: todo campo se parte en una pieza que sólo tiene divergencia, otra que sólo tiene circulación y un resto armónico que no tiene ninguna de las dos. Ese resto no depende del campo: depende de la forma del espacio. Ahí está el puente entre análisis y topología.
Hodge planteó su conjetura en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1950, en Cambridge. La formuló para clases enteras y en un rango más amplio del que hoy se considera. Las dos cosas resultaron ser falsas.
Con coeficientes enteros es falsa. Michael Atiyah y Friedrich Hirzebruch construyeron en 1962 una variedad con una clase entera de tipo (p,p) que no es combinación entera de clases algebraicas. Por eso el enunciado moderno pide coeficientes racionales: hay que permitir dividir.
La versión general que Hodge propuso también era falsa. Alexander Grothendieck lo señaló en 1969 en un artículo de dos páginas con un título que no deja lugar a dudas: Hodge's general conjecture is false for trivial reasons. Ahí mismo propuso la corrección que hoy se conoce como conjetura de Hodge generalizada.
Fuera del mundo proyectivo también es falsa. Claire Voisin demostró en 2002 que la conjetura no se extiende a variedades de Kähler compactas: construyó un toro complejo con una clase de Hodge que no es combinación racional de clases de subvariedades analíticas. Eso cerró la puerta a atacarla por generalización.
El caso p = 1 está probado desde 1924. Es el teorema de Lefschetz sobre clases (1,1): toda clase de Hodge de grado dos es combinación racional de clases de divisores. Se demuestra con la sucesión exponencial y es, cien años después, el único caso general que se tiene.
La conjetura es cierta para muchas familias concretas: hipersuperficies de grado bajo, variedades abelianas de ciertos tipos, productos de curvas elípticas, superficies K3 en muchos casos. La lista crece despacio y por métodos que no se generalizan.
Un resultado estructural muy fuerte: Eduardo Cattani, Pierre Deligne y Aroldo Kaplan demostraron en 1995 que el lugar donde viven las clases de Hodge en una familia es una subvariedad algebraica. Es exactamente lo que predeciría la conjetura si fuera cierta, y se probó sin demostrarla. Es la evidencia más seria a favor.
Qué falta. No hay ninguna construcción general que produzca subvariedades a partir de clases. El problema es que la conjetura pide fabricar objetos geométricos desde información puramente topológica, y no se conoce ningún mecanismo que haga eso.